PROPOSISI

PROPOSISI

Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai kebenarannya (truth value).

Contoh berikut ini dapat mengilustrasikan kalimat yang merupakan proposisi dan mana yang bukan.

Contoh 1.

a) 6 adalah bilangan genap

b) Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama

c) 2 + 2 = 4

d) Ibukota Provinsi Jawa Barat adalah Semarang

e) 12 ≥ 19

f) Kemarin hari hujan

g) Suhu di permukaan laut adalah 21 derajat celcius

h) Pemuda itu tinggi

i) Kehidupan hanya ada di Planet Bumi

Semuanya merupakan proposisi. Proposisi a, b, c bernilai benar, tetapi proposisi d salah karena ibukota Jawa Barat seharusnya Bandung dan proposisi e bernilai salah karena seharusnya 12 ≤ 19. Proposisi f sampai I memang tidak dapat langsung ditetapkan kebenarannya, namun satu hal yang pasti, proposisi-proposisi tersebut tidak mungkin benar dan salah sekaligus. Kita bisa menetapkan nilai proposisi tersebut benar atau salah. Misalnya, proposisi f bias kita andaikan benar (hari kemarin memang hujan) atau salah (hari kemarin tidak hujan). Demikian pula halnya untuk proposisi g dan h. Proposisi i bias benar atau salah, karena sampai saat ini belum ada ilmuwan yang dapat memastikan kebenarannya.

Contoh .

a) Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir?

b) Serahkan uangmu sekarang!

c) x + 3 = 8

d) x > 3

bukan proposisi. Kalimat a adalah kalimat Tanya, sedangkan kalimat b adalah kalimat perintah, keduanya tidak mempunyai nilai kebenaran. Dari contoh 1.1 dan 1.2 di atas, dapat disimpulkan bahwa proposisi selalu dinyatakan sebagai kalimat berita, bukan sebagai kalimat Tanya maupun kalimat perintah. Kalimat c dan d bukan proposisi karena kedua kalimat tersebut tidak dapat ditentukan benar maupun salah sebab keduanya mengandung peubah (variable) yang tidak dispesifikasikan nilainya. Tetapi kalimat

“Untuk sembarang bilangan bulat n ≥ 0, maka 2n adalah bilangan genap”

Bidang logika yang membahas proposisi dinamakan kalkulus proposisi(propositional calculus) atau logika proposisi (propositional logic).

Secara simbolik, proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil sepertip, q, r, …. misalnya,

p: 6 adalah bilangan genap,

Untuk mendefinisikan p sebagai proposisi “6 adalah bilangan genap”. Begitu juga untuk

q : soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama.

r : 2 + 2 = 4.

dan sebagainya.

Mengkombinasikan Proposisi

Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebutoperator logika. Operator logika dasar yang digunakan  adalah dan (and),atau (or), dan tidak (not). Dua operator pertama dinamakan operator binerkarena operator tersebut mengoperasikan dua buah proposisi, sedangkan operator ketiga dinamakan operator uner karena ia hanya membutuhkan satu buah proposisi.

Proposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian tersebut dinamakanproposisi majemuk (compound proposition). proposisi yang bukan merupakan kombinasi proposisi lain disebut proposisi atomik. Proposisi majemuk ada tiga macam, yaitu konjungsi, disjungsi, dan ingkaran. Ketiganyadidefinisikan sebagai berikut:

DEFINISI. Misalkan dan adalah proposisi. Konjungsi (conjunction) dan , dinyatakan dengan notasi , adalah proposisi

p dan

Disjungsi (disjunction) dan , dinyatakan dengan notasi , adalah proposisi

p atau

Ingkaran atau (negation) dari , dinyatakan dengan p, adalah proposisi tidak p

Catatan:

Beberapa literatur menggunakan notasi “p”, ””, atau ”not p” untuk menyatakan lingkaran.

Kata “tidak” dapat dituliskan di tengah pernyataan. Jika kata “tidak” diberikan di awal pernyataan maka ia biasanya disambungkan dengan kata “benar” menjadi “tidak benar”. Kata “tidak” dapat juga diganti dengan “bukan” bergantung dengan rasa bahasa yang tepat untuk pernyataan tersebut.

Berikut contoh-contoh proposisi majemuk dan notasi simboliknya. Ekspresi proposisi majemuk dalam notasi simbolik disebut juga ekspresi logika.

Contoh

Diketahui proposisi-proposisi berikut:

p: Hari ini hujan

q : Murid-murid diliburkan dari sekolah

Maka

pq : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah

pq : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah

p : Tidak benar hari ini hujan (atau dalam kalimat lain yang lebih lazim: Hari ini tidak hujan)